Problem 180

Rational zeros of a function of three variables

For any integer $n$ , consider the three functions

$f_{1, n} (x, y, z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} - z^{n + 1}$
$f_{2, n} (x, y, z) = (x y + y z + z x) (x^{n - 1} + y^{n - 1} - z^{n - 1})$
$f_{3, n} (x, y, z) = x y z (x^{n - 2} + y^{n - 2} - z^{n - 2})$

and their combination

$f_{n} (x, y, z) = f_{1, n} (x, y, z) + f_{2, n} (x, y, z) - f_{3, n} (x, y, z)$

We call $(x, y, z)$ a golden triple of order $k$ if $x$ , $y$ , and $z$ are all rational numbers of the form $a / b$ with $0 < a < b \leq k$ and there is (at least) one integer $n$ , so that $f_{n} (x, y, z) = 0$ .

Let $s (x, y, z) = x + y + z$ .
Let $t = u / v$ be the sum of all distinct $s (x, y, z)$ for all golden triples $(x, y, z)$ of order $35$ .
All the $s (x, y, z)$ and $t$ must be in reduced form.

Find $u + v$ .

有三个自变量的函数的有理零点

对于任意整数 $n$ ，考虑这三个函数

$f_{1, n} (x, y, z) = x^{n + 1} + y^{n + 1} - z^{n + 1}$
$f_{2, n} (x, y, z) = (x y + y z + z x) (x^{n - 1} + y^{n - 1} - z^{n - 1})$
$f_{3, n} (x, y, z) = x y z (x^{n - 2} + y^{n - 2} - z^{n - 2})$

以及它们的组合

$f_{n} (x, y, z) = f_{1, n} (x, y, z) + f_{2, n} (x, y, z) - f_{3, n} (x, y, z)$

考虑三元组 $(x, y, z)$ ，若 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 都可以表示为满足 $0 < a < b \leq k$ 的有理数 $a / b$ ，且（至少）存在一个整数 $n$ 使得 $f_{n} (x, y, z) = 0$ ，则称其为 $k$ 阶黄金三元组。

记 $s (x, y, z) = x + y + z$ 。
考虑所有 $35$ 阶黄金三元组 $(x, y, z)$ 所对应的 $s (x, y, z)$ ，记其中所有不同的取值之和为 $t = u / v$ 。
所有的 $s (x, y, z)$ 以及 $t$ 都表示为最简分数。

求 $u + v$ 。