Problem 27

Quadratic Primes

Euler discovered the remarkable quadratic formula:

$n^{2} + n + 41$

It turns out that the formula will produce $40$ primes for the consecutive integer values $0 \leq n \leq 39$ . However, when $n = 40$ , $40^{2} + 40 + 41 = 40 (40 + 1) + 41$ is divisible by $41$ , and certainly when $n = 41$ , $41^{2} + 41 + 41$ is clearly divisible by $41$ .

The incredible formula $n^{2} - 79 n + 1601$ was discovered, which produces $80$ primes for the consecutive values $0 \leq n \leq 79$ . The product of the coefficients, $- 79$ and $1601$ , is $- 126479$ .

Considering quadratics of the form:

$n^{2} + a n + b$ , where $| a | < 1000$ and $| b | \leq 1000$ ,

where $| n |$ is the modulus/absolute value of $n$ , e.g. $| 11 | = 11$ and $| - 4 | = 4$ .

Find the product of the coefficients, $a$ and $b$ , for the quadratic expression that produces the maximum number of primes for consecutive values of $n$ , starting with $n = 0$ .

素数生成二次多项式

欧拉发现了这个著名的二次多项式：

$n^{2} + n + 41$

对 $0 \leq n \leq 39$ 范围内的所有整数，这个多项式可以连续生成 $40$ 个质数。但是，当 $n = 40$ 时， $40^{2} + 40 + 41 = 40 (40 + 1) + 41$ 能够被 $41$ 整除，而当 $n = 41$ 时， $41^{2} + 41 + 41$ 显然也能够被 $41$ 整除。

之后，人们又发现了一个神奇的多项式 $n^{2} - 79 n + 1601$ ，这个多项式能够对 $0 \leq n \leq 79$ 范围内的所有整数连续生成 $80$ 个质数。这个二次多项式的系数分别是 $- 79$ 和 $1601$ ，其乘积为 $- 126479$ 。

考虑所有如下形式的二次多项式：
$n^{2} + a n + b$ ，其中 $| a | < 1000$ ， $| b | \leq 1000$ 。

这里 $| n |$ 表示 $n$ 的绝对值，例如， $| 11 | = 11$ ， $| - 4 | = 4$ 。

找出其中能够从 $n = 0$ 开始连续生成最多素数的二次多项式，求其系数 $a$ 和 $b$ 的乘积。