Problem 53

Combinatoric Selections

There are exactly ten ways of selecting three from five, $12345$ :

$123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, and 345$

In combinatorics, we use the notation, $(\binom{5}{3}) = 10$ .

In general, $(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$ , where $r \leq n$ , $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$ , and $0! = 1$ .

It is not until $n = 23$ , that a value exceeds one-million:
$(\binom{23}{10}) = 1144066$ .

How many, not necessarily distinct, values of $(\binom{n}{r})$ , for $1 \leq n \leq 100$ , are greater than one-million?

组合选择

从五个数 $12345$ 中选择三个恰好有十种方式，分别是：

$123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245 和 345$

在组合数学中，我们记作： $(\binom{5}{3}) = 10$ 。

一般来说， $(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$ ，其中 $r \leq n$ ， $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$ ，且 $0! = 1$ 。

在 $n = 23$ 时，首次出现超出一百万的组合数： $(\binom{23}{10}) = 1144066$ 。

对于 $1 \leq n \leq 100$ ，有多少个不同形式的组合数 $(\binom{n}{r})$ 超过一百万？