Problem 561

Divisor Pairs

Let S(n) be the number of pairs (a,b) of distinct divisors of n such that a divides b.
For n=6 we get the following pairs: (1,2), (1,3), (1,6), (2,6) and (3,6). So S(6)=5.
Let $p_{m} #$ be the product of the first m prime numbers, so $p_{2} #$ = 2*3 = 6.
Let E(m, n) be the highest integer k such that $2^{k}$ divides $S ((p_{m} #)^{n})$ .
E(2,1) = 0 since $2^{0}$ is the highest power of 2 that divides S(6)=5.
Let $Q (n) = \sum_{i = 1}^{n} E (904961, i)$ .
Q(8)=2714886.

Evaluate $Q (10^{12})$ .

约数对

记S(n)为n的不同约数组成的约数对(a,b)的数目，其中a整除b。
对于n=6，我们有如下约数对：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,6)和(3,6)。因此S(6)=5。
记 $p_{m} #$ 是前m个素数的乘积，因此 $p_{2} #$ = 2*3 = 6。
记E(m, n)为使得 $2^{k}$ 整除 $S ((p_{m} #)^{n})$ 的最大整数k。
已知E(2,1) = 0，因为 $2^{0}$ 是能够整除S(6)=5的2的幂中最大的数。
记 $Q (n) = \sum_{i = 1}^{n} E (904961, i)$ 。
已知Q(8)=2714886。

求 $Q (10^{12})$ 。