Problem 565

Divisibility of sum of divisors

Let $σ (n)$ be the sum of the divisors of n.
E.g. the divisors of 4 are 1, 2 and 4, so $σ (4) = 7$ .

The numbers n not exceeding 20 such that 7 divides $σ (n)$ are: 4, 12, 13 and 20, the sum of these numbers being 49.

Let S(n,d) be the sum of the numbers i not exceeding n such that d divides $σ (i)$ .
So S(20,7)=49.

You are given: $S (10^{6}, 2017) = 150850429$ and $S (10^{9}, 2017) = 249652238344557$ .

Find $S (10^{11}, 2017)$ .

约数和的整除性

记 $σ (n)$ 为n的约数的和。
例如4的约数为1，2和4，因此 $σ (4) = 7$ 。

在不超过20的数n中， $σ (n)$ 能被7整除的有4，12，13和20，这些数的和是49。

记S(n,d)是所有不超过n且 $σ (i)$ 能被d整除的数i的和。
因此S(20,7)=49。

已知 $S (10^{6}, 2017) = 150850429$ 以及 $S (10^{9}, 2017) = 249652238344557$ 。

求 $S (10^{11}, 2017)$ 。