Problem 576

Irrational jumps

A bouncing point moves counterclockwise along a circle with circumference 1 with jumps of constant length $l < 1$ , until it hits a gap of length $g < 1$ , that is placed in a distance $d$ counterclockwise from the starting point. The gap does not include the starting point, that is $g + d < 1$ .

Let $S (l, g, d)$ be the sum of the length of all jumps, until the point falls into the gap. It can be shown that $S (l, g, d)$ is finite for any irrational jump size $l$ , regardless of the values of $g$ and $d$ .
Examples:
$S (\sqrt{\frac{1}{2}}, 0.06, 0.7) = 0.7071 \dots$ , $S (\sqrt{\frac{1}{2}}, 0.06, 0.3543) = 1.4142 \dots$ and
$S (\sqrt{\frac{1}{2}}, 0.06, 0.2427) = 16.2634 \dots$ .

Let $M (n, g)$ be the maximum of $\sum S (\sqrt{\frac{1}{p}}, g, d)$ for all primes $p \leq n$ and any valid value of $d$ .
Examples:
$M (3, 0.06) = 29.5425 \dots$ , since $S (\sqrt{\frac{1}{2}}, 0.06, 0.2427) + S (\sqrt{\frac{1}{3}}, 0.06, 0.2427) = 29.5425 \dots$ is the maximal reachable sum for $g = 0.06$ .
$M (10, 0.01) = 266.9010 \dots$

Find $M (100, 0.00002)$ , rounded to 4 decimal places.

无理数跳跃

一个点沿着周长为1的圆周逆时针跳跃，每次跳跃的长度为固定值 $l < 1$ ，直至其落入一个距离起始位置逆时针距离为 $d$ 、长度为 $g < 1$ 的间隙中为止。这段间隙不会包括起始位置，也就是说 $g + d < 1$ 。

记 $S (l, g, d)$ 为这个点掉入间隙之前所跳跃的总长度。可以证明,当跳跃的步长 $l$ 是无理数时，无论 $g$ 和 $d$ 取什么值， $S (l, g, d)$ 都是有限的。
例如：
$S (\sqrt{\frac{1}{2}}, 0.06, 0.7) = 0.7071 \dots$ ， $S (\sqrt{\frac{1}{2}}, 0.06, 0.3543) = 1.4142 \dots$ 以及
$S (\sqrt{\frac{1}{2}}, 0.06, 0.2427) = 16.2634 \dots$ 。

记 $M (n, g)$ 为任取合理的 $d$ 时，对所有素数 $p \leq n$ 求 $\sum S (\sqrt{\frac{1}{p}}, g, d)$ 的最大值。
例如：
$M (3, 0.06) = 29.5425 \dots$ ，因为 $S (\sqrt{\frac{1}{2}}, 0.06, 0.2427) + S (\sqrt{\frac{1}{3}}, 0.06, 0.2427) = 29.5425 \dots$ 是 $g = 0.06$ 时能达到的最大值。
$M (10, 0.01) = 266.9010 \dots$

求 $M (100, 0.00002)$ ，并保留4位小数。