Problem 578

Integers with decreasing prime powers

Any positive integer can be written as a product of prime powers: $p_{1}^{a_{1}} \times p_{2}^{a_{2}} \times \dots \times p_{k}^{a_{k}}$ ,
where $p_{i}$ are distinct prime integers, $a_{i} > 0$ and $p_{i} < p_{j}$ if $i < j$ .

A decreasing prime power positive integer is one for which $a_{i} \geq a_{j}$ if $i < j$ .
For example, 1, 2, 15=3×5, 360=2³×3²×5 and 1000=2³×5³ are decreasing prime power integers.

Let C( $n$ ) be the count of decreasing prime power positive integers not exceeding $n$ .
C(100) = 94 since all positive integers not exceeding 100 have decreasing prime powers except 18, 50, 54, 75, 90 and 98.
You are given C(10⁶) = 922052.

Find C(10¹³).

质因数幂次下降的整数

任意正整数可以写成一系列质数的幂的乘积: $p_{1}^{a_{1}} \times p_{2}^{a_{2}} \times \dots \times p_{k}^{a_{k}}$ ,
其中 $p_{i}$ 是不同的质数， $a_{i} > 0$ ，且对于任意 $i < j$ 都有 $p_{i} < p_{j}$ 。

若一个正整数满足，对于任意 $i < j$ 都有 $a_{i} \geq a_{j}$ ，则称之为质因数幂次下降的正整数。
例如，1，2，15=3×5，360=2³×3²×5和1000=2³×5³都是质因数幂次下降的整数。

记C( $n$ )为所有不超过 $n$ 且质因数幂次下降的整数的数目。
C(100) = 94，因为除了18，50，54，75，90和98外，其它所有不超过100的正整数都是质因数幂次下降的。
此外，还已知C(10⁶) = 922052。

求C(10¹³)。