Problem 591

Best Approximations by Quadratic Integers

Given a non-square integer $d$ , any real $x$ can be approximated arbitrarily close by quadratic integers $a + b \sqrt{d}$ , where $a, b$ are integers. For example, the following inequalities approximate $π$ with precision $10^{- 13}$ :
$4375636191520 \sqrt{2} - 6188084046055 < π < 721133315582 \sqrt{2} - 1019836515172$
We call $B Q A_{d} (x, n)$ the quadratic integer closest to $x$ with the absolute values of $a, b$ not exceeding $n$ .
We also define the integral part of a quadratic integer as $I_{d} (a + b \sqrt{d}) = a$ .

You are given that:

$B Q A_{2} (π, 10) = 6 - 2 \sqrt{2}$
$B Q A_{5} (π, 100) = 26 \sqrt{5} - 55$
$B Q A_{7} (π, 10^{6}) = 560323 - 211781 \sqrt{7}$
$I_{2} (B Q A_{2} (π, 10^{13})) = - 6188084046055$

Find the sum of $| I_{d} (B Q A_{d} (π, 10^{13})) |$ for all non-square positive integers less than 100.

二次整数最佳逼近

给定一个非完全平方的整数 $d$ ，任意实数 $x$ 可以用所谓二次整数 $a + b \sqrt{d}$ 任意逼近，其中 $a, b$ 均为整数。例如如下不等式能够以 $10^{- 13}$ 的精度逼近 $π$ ：
$4375636191520 \sqrt{2} - 6188084046055 < π < 721133315582 \sqrt{2} - 1019836515172$
我们记 $a, b$ 不超过 $n$ 的所有二次整数中最接近 $x$ 的为 $B Q A_{d} (x, n)$ 。
同时我们定义二次整数的“整数”部分为 $I_{d} (a + b \sqrt{d}) = a$ 。

已知：

$B Q A_{2} (π, 10) = 6 - 2 \sqrt{2}$
$B Q A_{5} (π, 100) = 26 \sqrt{5} - 55$
$B Q A_{7} (π, 10^{6}) = 560323 - 211781 \sqrt{7}$
$I_{2} (B Q A_{2} (π, 10^{13})) = - 6188084046055$

对于所有小于100的非完全平方整数 $d$ ，求其对应的 $| I_{d} (B Q A_{d} (π, 10^{13})) |$ 之和。