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Problem 593

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Fleeting Medians

We define two sequences $S=S(1),S(2),\dots ,S(n)$ and $S_2=S_2(1),S_2(2),\dots ,S_2(n)$:

$S(k)=(p_k{)}^k$ mod $10007$ where $p_k$ is the $k$th prime number.

$S_2(k)=S(k)+S(\lfloor \frac{k}{10000}\rfloor +1)$ where $\lfloor \cdot \rfloor$ denotes the floor function.

Then let $M(i,j)$ be the median of elements $S_2(i)$ through $S_2(j)$, inclusive. For example, $M(1,10)=2021.5$ and $M({10}^2,{10}^3)=4715.0$.

Let $F(n,k)=\sum _{i=1}^{n-k+1}M(i,i+k-1)$. For example, $F(100,10)=463628.5$ and $F({10}^5,{10}^4)=675348207.5$.

Find $F({10}^7,{10}^5)$. If the sum is not an integer, use $.5$ to denote a half. Otherwise, use $.0$ instead.

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快速中位数

我们定义两个序列$S=S(1),S(2),\dots ,S(n)$和$S_2=S_2(1),S_2(2),\dots ,S_2(n)$：

$S(k)=(p_k{)}^k$ mod $10007$，其中$p_k$是第$k$个素数。

$S_2(k)=S(k)+S(\lfloor \frac{k}{10000}\rfloor +1)$，其中$\lfloor \cdot \rfloor$表示下取整函数。

然后记$M(i,j)$为从$S_2(i)$到$S_2(j)$（含）的中位数。例如，$M(1,10)=2021.5$，而$M({10}^2,{10}^3)=4715.0$。

记$F(n,k)=\sum _{i=1}^{n-k+1}M(i,i+k-1)$。例如，$F(100,10)=463628.5$，而$F({10}^5,{10}^4)=675348207.5$。

求$F({10}^7,{10}^5)$。如果这个和值不是整数，用$.5$表示，否则用$.0$表示。

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