Problem 596

Number of lattice points in a hyperball

Let T( $r$ ) be the number of integer quadruplets $x$ , $y$ , $z$ , $t$ such that $x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} \leq r^{2}$ . In other words, T( $r$ ) is the number of lattice points in the four-dimensional hyperball of radius $r$ .

You are given that T(2) = 89, T(5) = 3121, T(100) = 493490641 and T(10⁴) = 49348022079085897.

Find T(10⁸) mod 1000000007.

超球中的格点数目

记T( $r$ )为满足 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} \leq r^{2}$ 的整数四元组 $x$ ， $y$ ， $z$ ， $t$ 的数目。换言之，T( $r$ )是半径为 $r$ 的四维超球中格点的数目。

已知T(2) = 89，T(5) = 3121，T(100) = 493490641以及T(10⁴) = 49348022079085897。

求T(10⁸) mod 1000000007。