Problem 603

Substring sums of prime concatenations

Let $S (n)$ be the sum of all contiguous integer-substrings that can be formed from the integer $n$ . The substrings need not be distinct.

For example, $S (2024) = 2 + 0 + 2 + 4 + 20 + 02 + 24 + 202 + 024 + 2024 = 2304$ .

Let $P (n)$ be the integer formed by concatenating the first $n$ primes together. For example, $P (7) = 2357111317$ .

Let $C (n, k)$ be the integer formed by concatenating $k$ copies of $P (n)$ together. For example, $C (7, 3) = 235711131723571113172357111317$ .

Evaluate $S (C (10^{6}, 10^{12}))$ mod $(10^{9} + 7)$ .

记 $S (n)$ 为整数 $n$ 所能组成的全部连续整数子串的和。从不同位置和顺序得到的相同子串被视为不同的。

例如， $S (2024) = 2 + 0 + 2 + 4 + 20 + 02 + 24 + 202 + 024 + 2024 = 2304$ 。

记 $P (n)$ 为将前 $n$ 个素数拼接成的整数。例如， $P (7) = 2357111317$ 。

记 $C (n, k)$ 为将 $k$ 份 $P (n)$ 拼接成的整数。例如， $C (7, 3) = 235711131723571113172357111317$ 。

试计算 $S (C (10^{6}, 10^{12}))$ mod $(10^{9} + 7)$ 。