Problem 639

Summing a multiplicative function

A multiplicative function $f (x)$ is a function over positive integers satisfying $f (1) = 1$ and $f (a b) = f (a) f (b)$ for any two coprime positive integers $a$ and $b$ .

For integer $k$ let $f_{k} (n)$ be a multiplicative function additionally satisfying $f_{k} (e^{p}) = p^{k}$ for any prime $p$ and any integer $e > 0$ .
For example, $f_{1} (2) = 2$ , $f_{1} (4) = 2$ , $f_{1} (18) = 6$ and $f_{2} (18) = 36$ .

Let $S_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)$ . For example, $S_{1} (10) = 41$ , $S_{1} (100) = 3512$ , $S_{2} (100) = 208090$ , $S_{1} (10000) = 35252550$ and $\sum_{k = 1}^{3} S_{k} (10^{8}) \equiv 338787512 (\mod 1 000 000 007)$ .

Find $\sum_{k = 1}^{50} S_{k} (10^{12}) \mod 1 000 000 007$ .

积性函数求和

若定义在正整数上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 1$ ，且对任意两个互质正整数 $a$ 和 $b$ 有 $f (a b) = f (a) f (b)$ ，则称 $f (x)$ 为积性函数。

对于正整数 $k$ ，积性函数 $f_{k} (n)$ 进一步满足，对于任意质数 $p$ 和任意整数 $e > 0$ 有 $f_{k} (e^{p}) = p^{k}$ 。
例如， $f_{1} (2) = 2$ ， $f_{1} (4) = 2$ ， $f_{1} (18) = 6$ ， $f_{2} (18) = 36$ 。

记 $S_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)$ 。例如， $S_{1} (10) = 41$ ， $S_{1} (100) = 3512$ ， $S_{2} (100) = 208090$ ， $S_{1} (10000) = 35252550$ ， $\sum_{k = 1}^{3} S_{k} (10^{8}) \equiv 338787512 (\mod 1 000 000 007)$ 。

求 $\sum_{k = 1}^{50} S_{k} (10^{12}) \mod 1 000 000 007$ 。