Problem 647

Linear Transformations of Polygonal Numbers

It is possible to find positive integers $A$ and $B$ such that given any triangular number, $T_{n}$ , then $A T_{n} + B$ is always a triangular number. We define $F_{3} (N)$ to be the sum of $(A + B)$ over all such possible pairs $(A, B)$ with $max (A, B) \leq N$ . For example $F_{3} (100) = 184$ .

Polygonal numbers are generalisations of triangular numbers. Polygonal numbers with parameter $k$ we call $k$ -gonal numbers. The formula for the $n$ th $k$ -gonal number is $\frac{1}{2} n (n (k - 2) + 4 - k)$ where $n \geq 1$ . For example when $k = 3$ we get $\frac{1}{2} n (n + 1)$ the formula for triangular numbers.

The statement above is true for pentagonal, heptagonal and in fact any $k$ -gonal number with $k$ odd. For example when $k = 5$ we get the pentagonal numbers and we can find positive integers $A$ and $B$ such that given any pentagonal number, $P_{n}$ , then $A P_{n} + B$ is always a pentagonal number. We define $F_{5} (N)$ to be the sum of $(A + B)$ over all such possible pairs $(A, B)$ with $max (A, B) \leq N$ .

Similarly we define $F_{k} (N)$ for odd $k$ . You are given $\sum_{k} F_{k} (10^{3}) = 14993$ where the sum is over all odd $k = 3, 5, 7, \dots$ .

Find $\sum_{k} F_{k} (10^{12})$ where the sum is over all odd $k = 3, 5, 7, \dots$ .

多边形数线性变换

我们能够找到一组正整数 $A$ 和 $B$ ，使得对于任意三角形数 $T_{n}$ ，其线性变换 $A T_{n} + B$ 仍然是三角形数。对于所有满足 $max (A, B) \leq N$ 的这类正整数对 $(A, B)$ ，记 $(A + B)$ 之和为 $F_{3} (N)$ 。

在三角形数之上，我们可以考虑更一般的多边形数，比如 $k$ 边形数。第 $n$ 个 $k$ 边形数的公式为 $\frac{1}{2} n (n (k - 2) + 4 - k)$ ，其中 $n \geq 1$ 。例如，取 $k = 3$ ，上述公式就简化为 $\frac{1}{2} n (n + 1)$ ，就是三角形数的公式。

对于五边形数、七边形数，进而任意 $k$ 为奇数的 $k$ 边形数，我们都能找到如上所述的数对。比如说，当 $k = 5$ 时，我们能够找到一组正整数 $A$ 和 $B$ ，使得对于任意五边形数 $P_{n}$ ，其线性变换 $A P_{n} + B$ 仍然是五边形数。同样地，对于所有满足 $max (A, B) \leq N$ 的这类正整数对 $(A, B)$ ，记 $(A + B)$ 之和为 $F_{5} (N)$ 。

类似地，我们可以对任意奇数 $k$ 定义函数 $F_{k} (N)$ 。已知，仅对奇数 $k = 3, 5, 7, \dots$ 求和时， $\sum_{k} F_{k} (10^{3}) = 14993$ 。

仅对奇数 $k = 3, 5, 7, \dots$ 求和，求 $\sum_{k} F_{k} (10^{12})$ 。