Problem 650

Divisors of Binomial Product

Let $B (n) = \prod_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k})$ , a product of binomial coefficients.
For example,
$B (5) = (\binom{5}{0}) \times (\binom{5}{1}) \times (\binom{5}{2}) \times (\binom{5}{3}) \times (\binom{5}{4}) \times (\binom{5}{5}) = 1 \times 5 \times 10 \times 10 \times 5 \times 1 = 2500$ .

Let $D (n) = \sum_{d | B (n)} d$ , the sum of the divisors of $B (n)$ .
For example, the divisors of $B (5)$ are $1$ , $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $20$ , $25$ , $50$ , $100$ , $125$ , $250$ , $500$ , $625$ , $1250$ and $2500$ ,
so $D (5) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50 + 100 + 125 + 250 + 500 + 625 + 1250 + 2500 = 5467$ .

Let $S (n) = \sum_{k = 1}^{n} D (k)$ .
You are given $S (5) = 5736$ , $S (10) = 141740594713218418$ and $S (100) \mod 1 000 000 007 = 332792866$ .

Find $S (20 000) \mod 1 000 000 007$ .

二项式系数乘积的因数

记 $B (n) = \prod_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k})$ 为二项式系数的乘积。
例如，
$B (5) = (\binom{5}{0}) \times (\binom{5}{1}) \times (\binom{5}{2}) \times (\binom{5}{3}) \times (\binom{5}{4}) \times (\binom{5}{5}) = 1 \times 5 \times 10 \times 10 \times 5 \times 1 = 2500$ 。

记 $D (n) = \sum_{d | B (n)} d$ 为 $B (n)$ 的因数和。
例如， $B (5)$ 的因数有 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $20$ 、 $25$ 、 $50$ 、 $100$ 、 $125$ 、 $250$ 、 $500$ 、 $625$ 、 $1250$ 和 $2500$ ，
因此 $D (5) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50 + 100 + 125 + 250 + 500 + 625 + 1250 + 2500 = 5467$ 。

记 $S (n) = \sum_{k = 1}^{n} D (k)$ 。
已知 $S (5) = 5736$ ， $S (10) = 141740594713218418$ ， $S (100) \mod 1 000 000 007 = 332792866$ 。

求 $S (20 000) \mod 1 000 000 007$ 。