Problem 681

Maximal Area

Given positive integers $a \leq b \leq c \leq d$ , it may be possible to form quadrilaterals with edge lengths $a$ , $b$ , $c$ , $d$ (in any order). When this is the case, let $M (a, b, c, d)$ denote the maximal area of such a quadrilateral.
For example, $M (2, 2, 3, 3) = 6$ , attained e.g. by a $2 \times 3$ rectangle.

Let $S P (n)$ be the sum of $a + b + c + d$ over all choices $a \leq b \leq c \leq d$ for which $M (a, b, c, d)$ is a positive integer not exceeding $n$ .
$S P (10) = 186$ and $S P (100) = 23238$ .

Find $S P (1 000 000)$ .

最大面积

对于给定正整数 $a \leq b \leq c \leq d$ ，有时能找到边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 的四边形（未必按照这一顺序）。当存在这样的四边形时，记 $M (a, b, c, d)$ 为所有此类四边形的最大面积。
例如， $M (2, 2, 3, 3) = 6$ ，这一最大面积在构成 $2 \times 3$ 的长方形时取得。

考虑所有满足 $a \leq b \leq c \leq d$ 且 $M (a, b, c, d)$ 为不超过 $n$ 的正整数的四元组 $(a, b, c, d)$ ，并记所有这些四元组对应的 $a + b + c + d$ 之和为 $S P (n)$ .
已知 $S P (10) = 186$ ， $S P (100) = 23238$ 。

求 $S P (1 000 000)$ 。