Problem 689

Binary Series

For $0 \leq x < 1$ , define $d_{i} (x)$ to be the $i$ th digit after the binary point of the binary representation of $x$ .
For example $d_{2} (0.25) = 1$ , $d_{i} (0.25) = 0$ for $i \neq 2$ .

Let $f (x) = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{d_{i} (x)}{i^{2}}$ .

Let $p (a)$ be probability that $f (x) > a$ , given that $x$ is uniformly distributed between $0$ and $1$ .

Find $p (0.5)$ . Give your answer rounded to $8$ digits after the decimal point.

二进制级数

对于任意 $0 \leq x < 1$ ，记 $d_{i} (x)$ 为 $x$ 的二进制表示中小数点后第 $i$ 位数字。
例如， $d_{2} (0.25) = 1$ ，而对所有 $i \neq 2$ 则有 $d_{i} (0.25) = 0$ 。

记 $f (x) = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{d_{i} (x)}{i^{2}}$ 。

若 $x$ 在 $0$ 和 $1$ 之间均匀分布，记 $p (a)$ 为 $f (x) > a$ 的概率。

求 $p (0.5)$ ，并将你的答案保留小数点后 $8$ 位数字。