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Problem 715

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Sextuplet Norms

Let $f(n)$ be the number of $6$-tuples $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ such that:

• All $x_i$ are integers with $0\le x_i<n$
• $gcd(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2,n^2)=1$

Let ${\displaystyle G(n)={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{f(k)}{k^2\phi (k)}}}$
where $\phi (n)$ is Euler’s totient function.

For example, $G(10)=3053$ and $G({10}^5)\equiv 157612967(\mathrm{mod}1000000007)$.

Find $G({10}^{12})mod1000000007$.

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六元范数

记$f(n)$为满足以下条件的$6$元组$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$的数目：

• 所有$x_i$均为$0\le x_i<n$内的整数
• $gcd(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2,n^2)=1$

记${\displaystyle G(n)={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{f(k)}{k^2\phi (k)}}}$
其中$\phi (n)$代表欧拉总计函数。

例如，$G(10)=3053$，$G({10}^5)\equiv 157612967(\mathrm{mod}1000000007)$。

求$G({10}^{12})mod1000000007$。

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