Problem 718

Unreachable Numbers

Consider the equation $17^{p} a + 19^{p} b + 23^{p} c = n$ where $a$ , $b$ , $c$ and $p$ are positive integers, i.e. $a, b, c, p > 0$ .

For a given $p$ there are some values of $n > 0$ for which the equation cannot be solved. We call these unreachable values.

Define $G (p)$ to be the sum of all unreachable values of $n$ for the given value of $p$ . For example $G (1) = 8253$ and $G (2) = 60258000$ .

Find $G (6)$ . Give your answer modulo $1 000 000 007$ .

考虑等式 $17^{p} a + 19^{p} b + 23^{p} c = n$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $p$ 均为正整数。

对于给定的 $p$ ，有些取值 $n > 0$ 会使得方程无解。我们称这些取值为不可达数。

记 $G (p)$ 为对于给定 $p$ 的所有不可达数 $n$ 之和。例如， $G (1) = 8253$ ， $G (2) = 60258000$ 。

求 $G (6)$ ，并将你的答案对 $1 000 000 007$ 取余。