Problem 719

Number Splitting

We define an $S$ -number to be a natural number, $n$ , that is a perfect square and its square root can be obtained by splitting the decimal representation of $n$ into $2$ or more numbers then adding the numbers.

For example, $81$ is an $S$ -number because $\sqrt{81} = 8 + 1$ .
$6724$ is an $S$ -number: $\sqrt{6724} = 6 + 72 + 4$ .
$8281$ is an $S$ -number: $\sqrt{8281} = 8 + 2 + 81 = 82 + 8 + 1$ .
$9801$ is an $S$ -number: $\sqrt{9801} = 98 + 0 + 1$ .

Further we define $T (N)$ to be the sum of all $S$ -numbers $n \leq N$ . You are given $T (10^{4}) = 41333$ .

Find $T (10^{12})$

数字分割

若自然数 $n$ 是个完全平方数，且其平方根可以表示为将 $n$ 的十进制表示分成至少 $2$ 部分再相加的和，则称其为 $S$ -数。

例如， $81$ 是个 $S$ -数，因为 $\sqrt{81} = 8 + 1$ 。
$6724$ 是个 $S$ -数： $\sqrt{6724} = 6 + 72 + 4$ 。
$8281$ 是个 $S$ -数： $\sqrt{8281} = 8 + 2 + 81 = 82 + 8 + 1$ 。
$9801$ 是个 $S$ -数： $\sqrt{9801} = 98 + 0 + 1$ 。

再记 $T (N)$ 为所有满足 $n \leq N$ 的 $S$ -数之和。已知 $T (10^{4}) = 41333$ 。

求 $T (10^{12})$ 。