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Problem 720

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Unpredictable Permutations

Consider all permutations of $1,2,\dots N$, listed in lexicographic order.
For example, for $N=4$, the list starts as follows:

$$\begin{array}{c}(1,2,3,4)(1,2,4,3)(1,3,2,4)(1,3,4,2)(1,4,2,3)(1,4,3,2)(2,1,3,4)⋮\end{array}$$

Let us call a permutation $P$ unpredictable if there is no choice of three indices $i<j<k$ such that $P(i)$, $P(j)$ and $P(k)$ constitute an arithmetic progression.
For example, $P=(3,4,2,1)$ is not unpredictable because $P(1),P(3),P(4)$ is an arithmetic progression.

Let $S(N)$ be the position within the list of the first unpredictable permutation.

For example, given $N=4$, the first unpredictable permutation is $(1,3,2,4)$ so $S(4)=3$.
You are also given that $S(8)=2295$ and $S(32)\equiv 641839205(\mathrm{mod}1000000007)$.

Find $S(2^{25})$. Give your answer modulo $1000000007$.

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不可预测的排列

考虑集合$1,2,\dots N$的所有排列，并按字典序组成列表。
例如，对于$N=4$，所有排列组成的列表如下所示：

$$\begin{array}{c}(1,2,3,4)(1,2,4,3)(1,3,2,4)(1,3,4,2)(1,4,2,3)(1,4,3,2)(2,1,3,4)⋮\end{array}$$

对于排列$P$，如果不存在三个下标$i<j<k$使得$P(i),P(j),P(k)$构成等差数列，则称该排列为不可预测的。
例如，$P=(3,4,2,1)$不是不可预测的，因为$P(1),P(3),P(4)$构成等差数列。

记$S(N)$为在上述列表中第一个不可预测排列的位置。

例如，对于$N=4$，第一个不可预测排列是$(1,3,2,4)$，因此$S(4)=3$。
已知$S(8)=2295$，$S(32)\equiv 641839205(\mathrm{mod}1000000007)$。

求$S(2^{25})$，并将你的答案对$1000000007$取余。

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