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Problem 721

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High powers of irrational numbers

Given is the function $f(a,n)=\lfloor (\lceil \sqrt{a}:\rceil +\sqrt{a}:{)}^n\rfloor$.
$\lfloor .\rfloor$ denotes the floor function and $\lceil .\rceil$ denotes the ceiling function.
$f(5,2)=27$ and $f(5,5)=3935$.

$G(n)={\displaystyle \sum _{a=1}^{n}f(a,a^2).}$
$G(1000)mod999999937=163861845.$
Find $G(5000000).$ Give your answer modulo $999999937$.

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无理数的高次幂

考虑函数$f(a,n)=\lfloor (\lceil \sqrt{a}:\rceil +\sqrt{a}:{)}^n\rfloor$，其中$\lfloor .\rfloor$代表下取整函数，$\lceil .\rceil$代表上取整函数。
已知$f(5,2)=27$，$f(5,5)=3935$。

记$G(n)={\displaystyle \sum _{a=1}^{n}f(a,a^2)}$。
已知$G(1000)mod999999937=163861845$。
求$G(5000000)$，并将你的答案对$999999937$取余。

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