Problem 722

Slowly converging series

For a non-negative integer $k$ , define
$E_{k} (q) = \sum_{n = 1}^{\infty} σ_{k} (n) q^{n}$
where $σ_{k} (n) = \sum_{d ∣ n} d^{k}$ is the sum of the $k$ -th powers of the positive divisors of $n$ .

It can be shown that, for every $k$ , the series $E_{k} (q)$ converges for any $0 < q < 1$ .

For example,
$E_{1} (1 - \frac{1}{2^{4}}) = 3.872155809243 e 2$
$E_{3} (1 - \frac{1}{2^{8}}) = 2.767385314772 e 10$
$E_{7} (1 - \frac{1}{2^{15}}) = 6.725803486744 e 39$
All the above values are given in scientific notation rounded to twelve digits after the decimal point.

Find the value of $E_{15} (1 - \frac{1}{2^{25}})$ .
Give the answer in scientific notation rounded to twelve digits after the decimal point.

缓慢收敛级数

对于非负整数 $k$ ，记
$E_{k} (q) = \sum_{n = 1}^{\infty} σ_{k} (n) q^{n}$
其中 $σ_{k} (n) = \sum_{d ∣ n} d^{k}$ 表示 $n$ 的所有正约数的 $k$ 次幂之和。

可以证明，对于所有 $k$ 和任意 $0 < q < 1$ ，级数 $E_{k} (q)$ 始终收敛。

例如，
$E_{1} (1 - \frac{1}{2^{4}}) = 3.872155809243 e 2$
$E_{3} (1 - \frac{1}{2^{8}}) = 2.767385314772 e 10$
$E_{7} (1 - \frac{1}{2^{15}}) = 6.725803486744 e 39$
上述取值均以科学计数法表示并保留小数点后十二位。

求 $E_{15} (1 - \frac{1}{2^{25}})$ 的值，以科学计数法表示并保留小数点后十二位。