Problem 723

Pythagorean Quadrilaterals

A pythagorean triangle with catheti $a$ and $b$ and hypotenuse $c$ is characterized by the well-known equation $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . However, this can also be formulated differently:
When inscribed into a circle with radius $r$ , a triangle with sides $a$ , $b$ and $c$ is pythagorean, if and only if $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 8 r^{2}$ .

Analogously, we call a quadrilateral $A B C D$ with sides $a$ , $b$ , $c$ and $d$ , inscribed in a circle with radius $r$ , a pythagorean quadrilateral, if $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 8 r^{2}$ .
We further call a pythagorean quadrilateral a pythagorean lattice grid quadrilateral, if all four vertices are lattice grid points with the same distance $r$ from the origin $O$ (which then happens to be the centre of the circumcircle).

Let $f (r)$ be the number of different pythagorean lattice grid quadrilaterals for which the radius of the circumcircle is $r$ . For example $f (1) = 1$ , $f (\sqrt{2}) = 1$ , $f (\sqrt{5}) = 38$ and $f (5) = 167$ .
Two of the pythagorean lattice grid quadrilaterals with $r = \sqrt{5}$ are illustrated below:

Let $S (n) = \sum_{d | n} f (\sqrt{d})$ . For example, $S (325) = S (5^{2} \cdot 13) = f (1) + f (\sqrt{5}) + f (5) + f (\sqrt{13}) + f (\sqrt{65}) + f (5 \sqrt{13}) = 2370$ and $S (1105) = S (5 \cdot 13 \cdot 17) = 5535$ .

Find $S (1411033124176203125) = S (5^{6} \cdot 13^{3} \cdot 17^{2} \cdot 29 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 53 \cdot 61)$ .

毕达哥拉斯四边形

若一个毕达哥拉斯三角形也即直角三角形的直角边为 $a$ 和 $b$ ，斜边为 $c$ ，则它们满足著名的勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 。不过，它们同时也满足另外一条公式：
若一个三边长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的三角形内接于一个半径为 $r$ 的圆，当且仅当 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 8 r^{2}$ 时这个三角形是毕达哥拉斯三角形。

类似地，若一个四边长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 的四边形 $A B C D$ 内接于一个半径为 $r$ 的圆，且满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 8 r^{2}$ ，则我们称之为毕达哥拉斯四边形。
进一步地，如果这个毕达哥拉斯四边形的四个顶点都在格点上，且距离原点 $O$ 的距离均为 $r$ （此时原点恰好也是圆心），则称之为毕达哥拉斯格点四边形。

记 $f (r)$ 为内接于半径为 $r$ 的圆中的不同毕达哥拉斯格点四边形的数目。例如， $f (1) = 1$ ， $f (\sqrt{2}) = 1$ ， $f (\sqrt{5}) = 38$ ， $f (5) = 167$ 。
如下图所示为两个 $r = \sqrt{5}$ 时的毕达哥拉斯格点四边形：

记 $S (n) = \sum_{d | n} f (\sqrt{d})$ 。例如， $S (325) = S (5^{2} \cdot 13) = f (1) + f (\sqrt{5}) + f (5) + f (\sqrt{13}) + f (\sqrt{65}) + f (5 \sqrt{13}) = 2370$ ， $S (1105) = S (5 \cdot 13 \cdot 17) = 5535$ 。

求 $S (1411033124176203125) = S (5^{6} \cdot 13^{3} \cdot 17^{2} \cdot 29 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 53 \cdot 61)$ 。