Problem 753

Fermat Equation

Fermat’s Last Theorem states that no three positive integers $a$ , $b$ , $c$ satisfy the equation
$a^{n} + b^{n} = c^{n}$
for any integer value of $n$ greater than $2$ .

For this problem we are only considering the case $n = 3$ . For certain values of $p$ , it is possible to solve the congruence equation:
$a^{3} + b^{3} \equiv c^{3} (\mod p)$

For a prime $p$ , we define $F (p)$ as the number of integer solutions to this equation for $1 \leq a, b, c < p$ .

You are given $F (5) = 12$ and $F (7) = 0$ .

Find the sum of $F (p)$ over all primes $p$ less than $6 000 000$ .

费马方程

费马大定理指出，不存在正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足方程
$a^{n} + b^{n} = c^{n}$
其中 $n$ 为大于 $2$ 的正整数。

在本题中我们只考虑 $n = 3$ 的情况。对于特定的 $p$ ，如下的同余方程可能有解：
$a^{3} + b^{3} \equiv c^{3} (\mod p)$

对于素数 $p$ ，我们记 $F (p)$ 为上述同余方程满足 $1 \leq a, b, c < p$ 的整数解的数目。

已知 $F (5) = 12$ ， $F (7) = 0$ 。

求出所有小于 $6 000 000$ 的素数 $p$ 所对应 $F (p)$ 之和。