Problem 785

Symmetric Diophantine equation

Consider the following Diophantine equation:
$15 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 34 (x y + y z + z x)$
where $x$ , $y$ and $z$ are positive integers.

Let $S (N)$ be the sum of all solutions, $(x, y, z)$ , of this equation such that, $1 \leq x \leq y \leq z \leq N$ and $gcd (x, y, z) = 1$ .

For $N = 10^{2}$ , there are three such solutions - $(1, 7, 16), (8, 9, 39), (11, 21, 72)$ . So $S (10^{2}) = 184$ .

Find $S (10^{9})$ .

考虑如下丢番图方程：
$15 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 34 (x y + y z + z x)$
其中 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 均为正整数。

对于上述方程满足 $1 \leq x \leq y \leq z \leq N$ 和 $gcd (x, y, z) = 1$ 的解 $(x, y, z)$ ，记 $S (N)$ 为所有这些解之和。

对于 $N = 10^{2}$ ，共有三组这样的解： $(1, 7, 16), (8, 9, 39), (11, 21, 72)$ ，因此 $S (10^{2}) = 184$ 。

求 $S (10^{9})$ 。