Problem 792

Too Many Twos

We define $ν_{2} (n)$ to be the largest integer $r$ such that $2^{r}$ divides $n$ . For example, $ν_{2} (24) = 3$ .

Define $S (n) = \sum_{k = 1}^{n} (- 2)^{k} (\binom{2 k}{k})$ and $u (n) = ν_{2} (3 S (n) + 4)$ .

For example, when $n = 4$ then $S (4) = 980$ and $3 S (4) + 4 = 2944 = 2^{7} \cdot 23$ , hence $u (4) = 7$ .

You are also given $u (20) = 24$ .

Also define $U (N) = \sum_{n = 1}^{N} u (n^{3})$ . You are given $U (5) = 241$ .

Find $U (10^{4})$ .

记 $ν_{2} (n)$ 为使得 $2^{r}$ 整除 $n$ 的最大整数 $r$ 。例如， $ν_{2} (24) = 3$ 。

定义函数 $S (n) = \sum_{k = 1}^{n} (- 2)^{k} (\binom{2 k}{k})$ 和 $u (n) = ν_{2} (3 S (n) + 4)$ 。

例如，当 $n = 4$ 时，有 $S (4) = 980$ ， $3 S (4) + 4 = 2944 = 2^{7} \cdot 23$ ，因此 $u (4) = 7$ 。

已知 $u (20) = 24$ 。

再定义函数 $U (N) = \sum_{n = 1}^{N} u (n^{3})$ 。已知 $U (5) = 241$ 。

求 $U (10^{4})$ 。