Problem 833

Square Triangle Products

Triangle numbers $T_{k}$ are integers of the form $k (k + 1) / 2$ .

A few triangle numbers happen to be perfect squares like $T_{1} = 1$ and $T_{8} = 36$ , but more can be found when considering the product of two triangle numbers. For example, $T_{2} \cdot T_{24} = 3 \cdot 300 = 30^{2}$ .

Let $S (n)$ be the sum of $c$ for all integers triples $(a, b, c)$ with $0 < c \leq n$ , $c^{2} = T_{a} \cdot T_{b}$ and $0 < a < b$ . For example, $S (100) = \sqrt{T_{1} T_{8}} + \sqrt{T_{2} T_{24}} + \sqrt{T_{1} T_{49}} + \sqrt{T_{3} T_{48}} = 6 + 30 + 35 + 84 = 155$ .

You are given $S (10^{5}) = 1479802$ and $S (10^{9}) = 241614948794$ .

Find $S (10^{35})$ . Give your answer modulo $136101521$ .

恰为平方数的三角形数乘积

三角形数 $T_{k}$ 是指能表达为 $k (k + 1) / 2$ 的整数。

有些三角形数恰好就是完全平方数，比如 $T_{1} = 1$ 和 $T_{8} = 36$ 。如果考虑两个三角形数的乘积，那么可以找到更多的完全平方数。例如， $T_{2} \cdot T_{24} = 3 \cdot 300 = 30^{2}$ 。

考虑所有同时满足 $0 < c \leq n$ 、 $c^{2} = T_{a} \cdot T_{b}$ 和 $0 < a < b$ 的整数三元组 $(a, b, c)$ ，并记 $S (n)$ 为所有此类三元组中整数 $c$ 之和。例如， $S (100) = \sqrt{T_{1} T_{8}} + \sqrt{T_{2} T_{24}} + \sqrt{T_{1} T_{49}} + \sqrt{T_{3} T_{48}} = 6 + 30 + 35 + 84 = 155$ 。

已知 $S (10^{5}) = 1479802$ ， $S (10^{9}) = 241614948794$ 。

求 $S (10^{35})$ ，并将你的答案对 $136101521$ 取余。