Problem 851

SOP and POS

Let $n$ be a positive integer and let $E_{n}$ be the set of $n$ -tuples of strictly positive integers.

For $u = (u_{1}, \dots, u_{n})$ and $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ two elements of $E_{n}$ , we define:

the Sum Of Products of $u$ and $v$ , denoted by $⟨ u, v ⟩$ , as the sum $\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i}$ ;
the Product Of Sums of $u$ and $v$ , denoted by $u ⋆ v$ , as the product $\prod_{i = 1}^{n} (u_{i} + v_{i})$ .

Let $R_{n} (M)$ be the sum of $u ⋆ v$ over all ordered pairs $(u, v)$ in $E_{n}$ such that $⟨ u, v ⟩ = M$ .

For example: $R_{1} (10) = 36$ , $R_{2} (100) = 1873044$ , $R_{2} (100!) \equiv 446575636 mod 10^{9} + 7$ .

Find $R_{6} (10000!)$ . Give your answer modulo $10^{9} + 7$ .

积之和与和之积

对于正整数 $n$ ，记 $E_{n}$ 为所有 $n$ 元正整数组构成的集合。

对于 $E_{n}$ 的任意两个元素 $u = (u_{1}, \dots, u_{n})$ 和 $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ ，定义：

$u$ 和 $v$ 的积之和，记作 $⟨ u, v ⟩$ ，为 $\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i}$ ；
$u$ 和 $v$ 的和之积，记作 $u ⋆ v$ ，为 $\prod_{i = 1}^{n} (u_{i} + v_{i})$ 。

考虑所有 $E_{n}$ 中满足 $⟨ u, v ⟩ = M$ 的有序对 $(u, v)$ ，并记其对应的 $u ⋆ v$ 之和为 $R_{n} (M)$ 。

例如， $R_{1} (10) = 36$ ， $R_{2} (100) = 1873044$ ， $R_{2} (100!) \equiv 446575636 mod 10^{9} + 7$ 。

求 $R_{6} (10000!)$ ，并将你的答案对 $10^{9} + 7$ 取余。