Problem 874

Maximal Prime Score

Let $p (t)$ denote the $(t + 1)$ th prime number. So that $p (0) = 2$ , $p (1) = 3$ , etc.

We define the prime score of a list of nonnegative integers $[a_{1}, \dots, a_{n}]$ as the sum $\sum_{i = 1}^{n} p (a_{i})$ .

Let $M (k, n)$ be the maximal prime score among all lists $[a_{1}, \dots, a_{n}]$ such that:

$0 \leq a_{i} < k$ for each $i$ ;
the sum $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ is a multiple of $k$ .

For example, $M (2, 5) = 14$ as $[0, 1, 1, 1, 1]$ attains a maximal prime score of $14$ .

Find $M (7000, p (7000))$ .

最大质数得分

记 $p (t)$ 为第 $(t + 1)$ 个质数，因此 $p (0) = 2$ ， $p (1) = 3$ ，依此类推。

定义非负整数列 $[a_{1}, \dots, a_{n}]$ 的质数得分为 $\sum_{i = 1}^{n} p (a_{i})$ 。

考虑所有满足如下条件的非负整数列 $[a_{1}, \dots, a_{n}]$ ，记 $M (k, n)$ 为其质数得分的最大值：

对于所有 $i$ ， $0 \leq a_{i} < k$ ；
数列和 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ 是 $k$ 的倍数。

例如， $M (2, 5) = 14$ ，最大质数得分 $14$ 在数列 $[0, 1, 1, 1, 1]$ 时取得。

求 $M (7000, p (7000))$ 。