Problem 906

A Collective Decision

Three friends attempt to collectively choose one of $n$ options, labeled $1, \dots, n$ , based upon their individual preferences. They choose option $i$ if for every alternative option $j$ at least two of the three friends prefer $i$ over $j$ . If no such option $i$ exists they fail to reach an agreement.

Define $P (n)$ to be the probability the three friends successfully reach an agreement and choose one option, where each of the friends’ individual order of preference is given by a (possibly different) random permutation of $1, \dots, n$ .

You are given $P (3) = 17 / 18$ and $P (10) \approx 0.6760292265$ .

Find $P (20 000)$ . Give your answer rounded to ten places after the decimal point.

集体决定

三位朋友试图根据他们各自的偏好集体从 $n$ 个选项中选择其中之一，这些选项分别用 $1, \dots, n$ 表示。如果存在选项 $i$ 使得，对于任意其他选项 $j$ ，至少有两位朋友更喜欢选项 $i$ 胜过选项 $j$ ，那么他们就会选择选项 $i$ 。如果不存在这样的选项 $i$ ，他们就无法达成一致。

定义 $P (n)$ 为三位朋友成功达成一致的概率，其中每位朋友的个人偏好可以由 $1, \dots, n$ 的一个（可能不同的）随机排列表示。

已知 $P (3) = 17 / 18$ ， $P (10) \approx 0.6760292265$ 。

求 $P (20 000)$ ，并四舍五入保留十位小数作为你的答案。