Problem 920

Tau Numbers

For a positive integer $n$ we define $τ (n)$ to be the count of the divisors of $n$ . For example, the divisors of $12$ are ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$ and so $τ (12) = 6$ .

A positive integer $n$ is a tau number if it is divisible by $τ (n)$ . For example $τ (12) = 6$ and $6$ divides $12$ so $12$ is a tau number.

Let $m (k)$ be the smallest tau number $x$ such that $τ (x) = k$ . For example, $m (8) = 24$ , $m (12) = 60$ and $m (16) = 384$ .

Further define $M (n)$ to be the sum of all $m (k)$ whose values do not exceed $10^{n}$ . You are given $M (3) = 3189$ .

Find $M (16)$ .

陶数

对于正整数 $n$ ，定义 $τ (n)$ 为 $n$ 的约数个数。例如， $12$ 的约数为 ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$ ，因此 $τ (12) = 6$ 。

如果一个正整数 $n$ 能被 $τ (n)$ 整除，则称之为陶数。例如， $τ (12) = 6$ ，且 $6$ 能整除 $12$ ，所以 $12$ 是一个陶数。

记 $m (k)$ 为满足 $τ (x) = k$ 的最小陶数 $x$ 。例如， $m (8) = 24$ ， $m (12) = 60$ ， $m (16) = 384$ 。

另记 $M (n)$ 为所有不超过 $10^{n}$ 的 $m (k)$ 之和。已知 $M (3) = 3189$ 。

求 $M (16)$ 。