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Problem 330

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Euler’s Number

An infinite sequence of real numbers $a(n)$ is defined for all integers $n$ as follows:

For example,
$$a(0)=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+…=e-1$$
$$a(1)=\frac{e-1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+…=2e-3$$
$$a(2)=\frac{2e-3}{1!}+\frac{e-1}{2!}+\frac{1}{3!}+…=\frac{7}{2}e-6$$
with $e = 2.7182818\ldots$ being Euler’s constant.

It can be shown that $a(n)$ is of the form $\frac{A(n)e+B(n)}{n!}$ for integers $A(n)$ and $B(n)$.
For example $a(10) = \frac{328161643 e − 652694486}{10!}$.

Find $A(10^9) + B(10^9)$ and give your answer mod $77\ 777\ 777$.

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欧拉数

无穷实数序列$a(n)$按如下方式定义:

例如，
$$a(0)=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+…=e-1$$
$$a(1)=\frac{e-1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+…=2e-3$$
$$a(2)=\frac{2e-3}{1!}+\frac{e-1}{2!}+\frac{1}{3!}+…=\frac{7}{2}e-6$$
其中$e = 2.7182818\ldots$是欧拉常数。

可以发现$a(n)$总是可以表达为$\frac{A(n)e+B(n)}{n!}$的形式，其中$A(n)$和$B(n)$均为整数。
例如$a(10) = \frac{328161643 e − 652694486}{10!}$。

求$A(10^9) + B(10^9)$，并将你的答案模$77\ 777\ 777$取余。

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