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Problem 446

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Retractions B

For every integer n>1, the family of functions f_n,a,b is defined by f_n,a,b(x)≡ax+b mod n for a,b,x integer and 0<a<n, 0≤b<n, 0≤x<n.
We will call f_n,a,b a retraction if f_n,a,b(f_n,a,b(x))≡f_n,a,b(x) mod n for every 0≤x<n.
Let R(n) be the number of retractions for n.

F(N)=∑R(n⁴+4) for 1≤n≤N.
F(1024)=77532377300600.

Find F(10⁷) (mod 1 000 000 007).

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撤销函数 B

对于任意整数n>1，函数族f_n,a,b按如下方式定义：f_n,a,b(x)≡ax+b mod n，其中a,b,x都是整数，且0<a<n，0≤b<n，0≤x<n。
我们称f_n,a,b为撤销函数，当对于0≤x<n均有在模n意义下f_n,a,b(f_n,a,b(x))≡f_n,a,b(x)。
记R(n)是给定n下撤销函数的数目。

记F(N)=∑R(n⁴+4)，其中1≤n≤N。
已知F(1024)=77532377300600。

求F(10⁷) (mod 1 000 000 007)。

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