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Problem 464

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Möbius function and intervals

The Möbius function, denoted μ(n), is defined as:

• μ(n) = (-1)^ω(n) if n is squarefree (where ω(n) is the number of distinct prime factors of n)
• μ(n) = 0 if n is not squarefree.

Let P(a,b) be the number of integers n in the interval [a,b] such that μ(n) = 1.
Let N(a,b) be the number of integers n in the interval [a,b] such that μ(n) = -1.
For example, P(2,10) = 2 and N(2,10) = 4.

Let C(n) be the number of integer pairs (a,b) such that:

• 1 ≤ a ≤ b ≤ n,
• 99·N(a,b) ≤ 100·P(a,b),
• 99·P(a,b) ≤ 100·N(a,b).

For example, C(10) = 13, C(500) = 16676 and C(10 000) = 20155319.

Find C(20 000 000).

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莫比乌斯函数和区间

莫比乌斯函数μ(n)按照如下方式定义：

• μ(n) = (-1)^ω(n)，如果n是无平方因子的（其中ω(n)是n的不同质因数的个数）
• μ(n) = 0 如果n不是无平方因子的。

记P(a,b)是在区间[a,b]中使得μ(n) = 1的整数n的个数。
记N(a,b)是在区间[a,b]中使得μ(n) = -1的整数n的个数。
举例而言，P(2,10) = 2，N(2,10) = 4.

记C(n)是满足如下条件的整数对(a,b)的数目：

• 1 ≤ a ≤ b ≤ n,
• 99·N(a,b) ≤ 100·P(a,b),
• 99·P(a,b) ≤ 100·N(a,b).

例如，C(10) = 13，C(500) = 16676，而C(10 000) = 20155319.

求C(20 000 000)。

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