Problem 473
Phigital number base
Let φ be the golden ratio: φ=(1+√5)/2.
Remarkably it is possible to write every positive integer as a sum of powers of φ even if we require that every power of φ is used at most once in this sum.
Even then this representation is not unique.
We can make it unique by requiring that no powers with consecutive exponents are used and that the representation is finite.
E.g: 2=φ+φ−2 and 3=φ2+φ−2
To represent this sum of powers of φ we use a string of 0’s and 1’s with a point to indicate where the negative exponents start.
We call this the representation in the phigital numberbase.
So 1=1φ, 2=10.01φ, 3=100.01φ and 14=100100.001001φ.
The strings representing 1, 2 and 14 in the phigital number base are palindromic, while the string representating 3 is not.
(the phigital point is not the middle character).
The sum of the positive integers not exceeding 1000 whose phigital representation is palindromic is 4345.
Find the sum of the positive integers not exceeding 1010 whose phigital representation is palindromic.
φ进制
记φ为黄金分割：φ=(1+√5)/2。
神奇的是，我们可以把所有的正整数用一系列φ的幂之和来表示，即使我们要求每个幂最多只能使用一次。
同时，这样的表达方式并不是唯一的。
为了使得这种表达方式变得唯一，我们可以要求不能使用两个相邻的幂，且使用的幂必须是有限个。
例如，我们有2=φ+φ−2，3=φ2+φ−2
我们可以用一个只包含0、1和小数点的字符串来对应用φ的幂之和表示的数字。
我们把这个字符串表示法称为φ进制。
因此 1=1φ，2=10.01φ，3=100.01φ，14=100100.001001φ。
表示1，2和14的φ进制字符串是回文的，但表示3的字符串并不是。
（因为小数点并不在数字的中间）。
所有不超过1000的正整数中，φ进制表示为回文字符串的数之和为4345。
求所有不超过1010的正整数中，φ进制表示为回文字符串的数之和。