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Problem 510

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Tangent Circles

Circles A and B are tangent to each other and to line L at three distinct points.
Circle C is inside the space between A, B and L, and tangent to all three.

Let r_A, r_B and r_C be the radii of A, B and C respectively.

Let S(n) = Σ r_A + r_B + r_C, for 0 < r_A ≤ r_B ≤ n where r_A, r_B and r_C are integers.

The only solution for 0 < r_A ≤ r_B ≤ 5 is r_A = 4, r_B = 4 and r_C = 1, so S(5) = 4 + 4 + 1 = 9.

You are also given S(100) = 3072.
Find S(10⁹).

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相切的圆

圆A和圆B彼此相切，同时和直线L也分别相切，三个切点互不相同。
圆C在A、B和L之间，且与这三者都相切。

分别记圆A、B和C的半径为r_A、r_B和r_C。

对于所有满足0 < r_A ≤ r_B ≤ n，且r_A、r_B和r_C均为整数的可行解，我们定义S(n) = Σ r_A + r_B + r_C。

对于0 < r_A ≤ r_B ≤ 5，唯一解是r_A = 4，r_B = 4，r_C = 1，所以S(5) = 4 + 4 + 1 = 9。

此外还已知S(100) = 3072。
求S(10⁹)。

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