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Problem 542

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Geometric Progression with Maximum Sum

Let S(k) be the sum of three or more distinct positive integers having the following properties:

• No value exceeds k.
• The values form a geometric progression.
• The sum is maximal.

S(4)=4+2+1=7
S(10)=9+6+4=19
S(12)=12+6+3=21
S(1000)=1000+900+810+729=3439

Let $T(n) = \sum_{k=4}^n (-1)^k S(k)$.
T(1000) = 2268

Find T(10¹⁷).

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和最大的几何级数

记S(k)为满足以下条件的至少三个不同正整数的和：

• 正整数的值不超过k。
• 这些数构成几何级数。
• 是所有可能的和中的最大值。

例如：
S(4)=4+2+1=7
S(10)=9+6+4=19
S(12)=12+6+3=21
S(1000)=1000+900+810+729=3439

令$T(n) = \sum_{k=4}^n (-1)^k S(k)$。
已知T(1000) = 2268

求T(10¹⁷)。

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