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Problem 721

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High powers of irrational numbers

Given is the function $f(a,n)=\lfloor{(\lceil{\sqrt{a}:\rceil}+\sqrt{a}:)^n}\rfloor$.
$\lfloor{.}\rfloor$ denotes the floor function and $\lceil{.}\rceil$ denotes the ceiling function.
$f(5,2)=27$ and $f(5,5)=3935$.

$G(n) = \displaystyle \sum_{a=1}^n f(a, a^2).$
$G(1000) \bmod 999\ 999\ 937=163861845. $
Find $G(5\ 000\ 000).$ Give your answer modulo $999\ 999\ 937$.

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无理数的高次幂

考虑函数$f(a,n)=\lfloor{(\lceil{\sqrt{a}:\rceil}+\sqrt{a}:)^n}\rfloor$，其中$\lfloor{.}\rfloor$代表下取整函数，$\lceil{.}\rceil$代表上取整函数。
已知$f(5,2)=27$，$f(5,5)=3935$。

记$G(n) = \displaystyle \sum_{a=1}^n f(a, a^2)$。
已知$G(1000) \bmod 999\ 999\ 937=163861845$。
求$G(5\ 000\ 000)$，并将你的答案对$999\ 999\ 937$取余。

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