Problem 805

Shifted Multiples

For a positive integer $n$, let $s(n)$ be the integer obtained by shifting the leftmost digit of the decimal representation of $n$ to the rightmost position.

For example, $s(142857)=428571$ and $s(10)=1$.

For a positive rational number $r$, we define $N(r)$ as the smallest positive integer $n$ such that $s(n)=r\cdot n$.

If no such integer exists, then $N(r)$ is defined as zero.

For example, $N(3)=142857$, $N(\tfrac 1{10})=10$ and $N(2) = 0$.

Let $T(M)$ be the sum of $N(u^3/v^3)$ where $(u,v)$ ranges over all ordered pairs of coprime positive integers not exceeding $M$.

For example, $T(3)\equiv 262429173 \pmod {1\ 000\ 000\ 007}$.

Find $T(200)$. Give your answer modulo $1\ 000\ 000\ 007$.

数字轮转倍数

对于正整数$n$，记$s(n)$为将$n$的十进制表示下最左侧数字移到最右侧所得到的数。

例如，$s(142857)=428571$，$s(10)=1$。

对于正有理数$r$，定义$N(r)$为满足$s(n)=r\cdot n$的最小正整数$n$。

若不存在这样的正整数，则$N(r)$取零。

例如，$N(3)=142857$，$N(\tfrac 1{10})=10$，$N(2) = 0$。

对于所有不超过$M$的互质正整数对$(u,v)$，记$T(M)$为所有$N(u^3/v^3)$之和。

例如，$T(3)\equiv 262429173 \pmod {1\ 000\ 000\ 007}$。

求$T(200)$，并将你的答案对$1\ 000\ 000\ 007$取余。