Problem 827

Pythagorean Triple Occurrence

Define $Q(n)$ to be the smallest number that occurs in exactly $n$ Pythagorean triples $(a,b,c)$ where $a \lt b \lt c$.

For example, $15$ is the smallest number occurring in exactly $5$ Pythagorean triples:
$$(9,12,\mathbf{15})\quad (8,\mathbf{15},17)\quad (\mathbf{15},20,25)\quad (\mathbf{15},36,39)\quad (\mathbf{15},112,113)$$
and so $Q(5) = 15$.

You are also given $Q(10)=48$ and $Q(10^3)=8064000$.

Find $\displaystyle \sum_{k=1}^{18} Q(10^k)$. Give your answer modulo $409120391$.

毕达哥拉斯三元组频数

记$Q(n)$为最小的、恰好出现在$n$个毕达哥拉斯三元组$(a,b,c)$中的数，其中$a \lt b \lt c$。

例如，$15$是最小的、恰好出现在$5$个毕达哥拉斯三元组中的数：
$$(9,12,\mathbf{15})\quad (8,\mathbf{15},17)\quad (\mathbf{15},20,25)\quad (\mathbf{15},36,39)\quad (\mathbf{15},112,113)$$
因此$Q(5) = 15$。

已知$Q(10)=48$，$Q(10^3)=8064000$。

求$\displaystyle \sum_{k=1}^{18} Q(10^k)$，并将你的答案对$409120391$取余。