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Problem 884

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Removing Cubes

Starting from a positive integer $n$, at each step we subtract from $n$ the largest perfect cube not exceeding $n$, until $n$ becomes $0$.

For example, with $n = 100$ the procedure ends in $4$ steps:
$$100 \xrightarrow{-4^3} 36 \xrightarrow{-3^3} 9 \xrightarrow{-2^3} 1 \xrightarrow{-1^3} 0.$$
Let $D(n)$ denote the number of steps of the procedure. Thus $D(100) = 4$.

Let $S(N)$ denote the sum of $D(n)$ for all positive integers $n$ strictly less than $N$.

For example, $S(100) = 512$.

Find $S(10^{17})$.

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扣除立方数

从任意正整数$n$开始，每一步依次扣除不超过$n$的最大立方数，直到$n$变为$0$。

例如，从$n = 100$开始需要$4$步：
$$100 \xrightarrow{-4^3} 36 \xrightarrow{-3^3} 9 \xrightarrow{-2^3} 1 \xrightarrow{-1^3} 0$$
记$D(n)$为从$n$开始所需要的步数，因此$D(100) = 4$。

记$S(N)$为所有严格小于$N$的正整数$n$所对应的$D(n)$之和。

例如，$S(100) = 512$。

求$S(10^{17})$。

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